栏目: 其他说说 来源: www.jsqq.net 时间: 2022-08-24 00:00
Bertrand曾在1899年提出一个悖论，即如果在与圆内接的等边三角形中任意选择一根弦，该弦长于等边三角形边长的概率是多少？但是结果不是唯一的。二分之一、三分之一、四分之一分别用三种方法求解。可以说都是完全正确却又相互矛盾的，从而形成了一个悖论。
伯特兰悖论的正确答案
伯特兰悖论没有规定弦的位置和方向，所以可以分三种情况求解。第一种解决方法是预设弦的方向，垂直于弦的直径可以做出来。只有穿过直径的四分之一和四分之三的弦等于边长，所以计算出的概率是二分之一。第二种方法是预设字符串的一端。只有当弦与这一端的切线夹角为60-120度时，才可能是等边的，概率是三分之一。
当然还有第三种方案，也是目前教科书上最常用的方案。主要是基于弦的中点。只有弦的中心能落在半径比这个圆小一半的同心圆上，所以此时的概率只有四分之一。所以三者结果不同，但几乎都没有计算误差。其实都是因为前提不一样。当问题呈现出来的时候，中间可能的话会产生误导，这其实和芝诺悖论是一样的。
伯特兰悖论的相似解释
其实这个悖论最初是Bertrand用来反思几何运算概率的恰当性的。事实上，这个悖论还有另一个版本。假设有1号、2号和3号箱子，其中1号有两根金条，2号有两根银条，3号有一根金条和一根银条。打开一格是金条，而打开另一格也是金条的概率是多少？我相信大多数人会认为是一半。
但实际上正确答案是三分之二，因为我们可以看到2号箱子里只有银条，所以可以马上排除，而其他的1号和3号箱子有可能只留下，所以综合来看，三个箱子里有两个是可能的，所以这也是理解伯特兰悖论最简单的方式。
