通俗易懂的语言表达

通俗易懂的语言表达

1、最简单的黎曼积分可以用于计算函数f(x)和X轴在区间[a,b]之间围成的曲边梯形面积，

2、发现Δf(Δx)-l(Δx)=(k'-k)Δx,也满足当Δx趋近于0时，Δf(Δx)-l(Δx)也趋近于0，但显然它们不贴近。于是我们对上面的描述，进行调整：

3、绿色曲线A点处是棱角的；

4、由④,①和②有：

5、（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正！）

6、称为不定积分。

7、餐馆老板虽然不得不承认这个结果，仍然不满意，他认为：这样无限细分下去，无法结束，因此最终还是得不到这个准确的值。

8、诚如故事所述的那样，黎曼积分不仅可以用于计算曲边梯形面积，还可以计算三维物体的体积，当然还可以计算，更高维度物体的体积，曲线的质量，物体沿曲线做的功，另外，微分也还可以扩展到多维函数和向量函数的情况，这些内容属于《多元微积分》其基本原理和上面所述的《一元微积分》类似，这里就不展开讨论了。

9、进一步，我们在两个曲线A点处用直尺画一条直线，然后放大A点附近的局部：

10、最后，是著名的牛顿-莱布尼兹公式：

11、设蓝色曲线的对应的函数是f(x)，A点的坐标是(x,f(x))，则可以再A处做一个局部坐标X'AY'：

12、观察发现，随着局部的不断放大，两种特性的差异表现明显，在A点处圆润的蓝色曲线和直线越来越贴近，而A点处棱角的绿色曲线则和直线毫不相干。

13、这样将一个大的曲边梯形Λ=ay?y_nb分割为一系列小的曲边梯形：

14、这样，经典微积分可以在必要时候丢弃无穷小量，也可以对无穷小量进行对此变化率。可以用不同的变化率组合表示另一种变化率。

15、我们在a和b之间插入一系列点：

16、局部坐标X'AY'下，蓝色曲线的函数为：

17、至此，微分就讨论完毕，接着，我们讨论什么是积分？

18、积分：土豆的体积近似等于其切出来的土豆条按照长方体计算的体积之和，土豆条切的越细，越准确。

19、自从阿基米德发明排水法后，测量不规则物体的体积已经不是问题。有一天，阿基米德去餐馆吃午餐结果忘了带钱，刚好老板也是一个数学爱好者，于是老板对阿基米德说：“如果阿基米德先生可以只用带刻度的直尺测量出土豆的体积，这一顿就免费”。阿基米德最近正在用割圆法计算圆周率，于是很快找到了解决问题的方法：

20、考虑下面的两个曲线，

21、蓝色曲线A点处是圆润的；

22、δ?,...δ_n

23、S?=f(ξ?)Δx?

24、餐馆老板，想了一想，土豆条不准确，就是因为两端是土豆的不规则表面，如果土豆条根细，那么规则表面的面积就会更小，误差就会更新。于是回答：是

25、于是最终得到：

26、l(Δx)=kΔx②

27、这就黎曼积分。

28、三维问题就好像是求一个面包的体积，可以把面包切片，切n片，再把每片的体积算出来加到一起，就是整个面包的体积；

29、积分又分为：不定积分和定积分，先说不定积分。

30、用生活中通俗易懂的语言描述微积分为：

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31、餐馆老板，提出质疑，认为将土豆条近似的当做长方体，不准确。阿基米德，反问到：

32、阿基米德，接着说：在现实中，当然不能，但是在数学中就可以了。

33、微积分有墙挡着，这就是极限，无论你怎么朝这个方向走，都不能突破。局部也有墙，那就是极值。

34、只见他，迅速用直尺的将土豆切成土豆条，然后将每个土豆条近似当做长方体，用直尺量出其长宽高，进而计算出每个土豆条的近似体积，最后将所有土豆条的体积加起来就是整个土豆的体积。

35、让，λ=max{Δx?,...,Δx_n}，则当λ→0时，S'→S，记为：

36、我认为数学是为了解决问题的，越是难度大，它的作用就越明显。微积分是解决问题的一种思路和方法。是为生活服务的。生活中，把看似一个不可能解决的事情，无限地细化，可执行，最终会越来越接近接解决目标。这是不是就是微积分的过程呢？嘻嘻!

37、更具体的描述如下：

38、微积分是连续的，不是量子世界的一份一份的东西。是从宏观世界看微观世界，微观世界的和等于宏观世界。这与量子世界不同，量子的微观世界之和不会简单的等于现实世界。

39、它将不定积分和定积分关联在一起。

40、其中，任意小曲边梯形δ?=x???y???y?x?的面积近似于小矩形σ?=x???y’???y‘?x?的面积：

41、称其为函数f(x)在A点处的变化率，而直线的函数为：

42、如果，我将每个土豆条在改刀成更细的土豆条，是不是就更精确了？

43、令o(Δx)=Δf(Δx)-l(Δx)称为Δx的高阶无穷小量，并将，③‘写成极限形式为：

44、微积分的核心思想在于微分和积分，简单理解：微分就是无限切割，积分就是求和。

45、蓝色曲线在A点处的表现，就是微分，具体的数学描述如下：

46、然后是，定积分也称为黎曼积分，我们看一则故事（本故事纯属虚构）：

47、二维问题的不规则四边形面积问题，就是把曲边梯形先切割，切割n份，再把每一份的面积算出来，加起来就是曲边梯形的面积

48、根据，上面的分析，我们知道随着Δx的减小，Δf(Δx)和l(Δx)越来越贴近，也就是说，它们的差Δf(Δx)-l(Δx)也会越来越小。那么具体，如果描述这种贴近呢？

49、（小石头尝试着来回答这个问题）

50、而这个年轻人，也马上也返回了自己的住所，并按照阿基米德想法，用数学的方法对切土豆进行了描述，这就是：黎曼积分。这个年轻人就是黎曼。

51、相当于把一头猪做成火腿肠，猪肉的体积很难说清楚（重量比较简单），数火腿肠的根数就容易多了，一根火腿肠的体积是很容易得到的。

52、当Δx趋近于0时，Δf(Δx)-l(Δx)也趋近于0。③

53、不积跬步，无以至千里。

54、我就简单的说一下：所谓微分就是无限分割，也就是说你想要多么小它就多么小，满足你需要“小到多少”的条件！现举一例：我们知道速度等于路程（位移）除以时间（位移所用的时间），同理，表示为：U=St—S0/t—to，也就是德尔塔S除以德尔塔t，那么把微分符号加上就是基本微分式了，即：du=ds/dt。积分下次再说吧

55、当Δx趋近于0时，(Δf(Δx)-l(Δx))/Δx也趋近于0（即，Δf(Δx)-l(Δx)比Δx更快的趋近于0）③‘

56、注意：黎曼积分还可以扩展为勒贝格积分，但是这牵扯测度论，比较复杂，不适合这里讨论。

57、于是，阿基米德吃完免费的吃午，回去继续计算他的圆周率去了。

58、很自然我们会想到：

59、微积分是导航，给定一个方向，迈出无穷小的一步。再给一个方向，迈出无穷小的一步。

60、https://m.toutiao.com/is/MXG27Fg/?=用结构化视角重新理解微积分-今日头条

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61、微积分，可以理解为把世界上的曲线，不规则面积，都分隔成非常小（无限小的概念）的一段一段，或者一块一块无限接近规则图形的图形，然后把一段一段的最小直线（无限小）或者无限接近规则图形的图像，加起来就是这个曲线的长度或者是这图形的面积。这里面就涉及到，无穷小概念（曲线上的两个点，无限接近直线），导数概念（曲线上某个点可导，表示这个曲线在这点上是连续的，否则无法计算面积），积分概念（在笛卡尔坐标上，X轴从一个点到另外一个点，这两点之间的无限的最小面积相加，就是我们要的总面积。计算结果就是，这个面积无限接近实际面积……。

62、这个公式就是函数f(x)在A点处的微分。

63、a=x?

64、微分：圆角的桌角的局部放大后近似于平直的，于是膝盖撞上去不会很痛；

65、于是Λ的面积S就近似为，这些小矩形的面积之和：

66、可是餐馆老板，依旧不买账，正当两人争执的不可开交时，旁边桌子上，一个年轻人站了起来，说：二位不要争论了，我愿意为这位阿基米德先生付钱。

67、这里，ξ?是x???和x?之间任意一点，Δx?=x?-x???。

68、某些生活经验（比如：膝盖不小心撞上去的感觉）告诉我们，两个曲线在A点处的特性不同：

69、Δf(Δx)=f(x+Δx)-f(x)①

70、但是，这用来描述贴近，显然不够，因为考虑绿色曲线（上半段），

71、也就是说，不定积分，就是求导的逆运算。

72、等式两边取极限，再根据③'得到：

73、这样，对于绿色曲线(Δf(Δx)-l(Δx))/Δx=(k'-k)显然是非零常数，就被排除了。

74、设f(x)是函数F(x)的导函数，即，f(x)=F'(x)，现在已知f(x)求原函数F(x)，令，

75、阿基米德，接着解释：既然，将土豆条继续细分，就会得到更高的精度，那么无限细分下去，总可以得到准确的值。

76、微积分分为微分和积分两部分，首先，我们来讨论什么是微分？

77、其中k为常数，表示直线的斜率。

78、称f'(x)为f(x)在A处的导数，当A点取满f(x)的整个定义域时，称f'(x)为f(x)的导函数，f(x)为f'(x)的原函数。

79、在微信中所积的会员分